Contents
【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
\[
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\]
次の各文章の\( \ \boxed { 1\strut } \ \)～\( \ \boxed { 6\strut } \ \)の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。なお、\( \ \boxed { 7\strut } \ \)は複数箇所あるが、同じ記号が入る。
また、\( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {A}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {a.bc}\mathstrut \ } \! } \ \)～\( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {J}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {a.bc}\mathstrut \ } \! } \ \)に当てはまる数値を計算し、その結果を答えよ。ただし、解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入することとし、対数の計算においては表の数値を用いること。
摩擦がなく自由に動くピストンの付いたシリンダーが水平に置かれている。そのシリンダーの中に、質量\( \ m \ \)が\( \mathrm {10kg} \ \)の空気が入っている。この時のシリンダー内の空気圧力\( \ P_{1} \ \)は\( 1 \mathrm {MP_{a}} \ \)で、温度\( \ T_{1} \ \)は\( \mathrm {900K} \ \)である。ここで空気を理想気体とみなし、空気のガス定数\( \ R \ \)を\( 287 \mathrm {J / ( kg \cdot K ) } \ \) 、比熱比\( \kappa \)を\( \ 1.40 \ \)とし、定容比熱\( \ c_{v} \ \) および定圧比熱\( \ c_{p} \ \)は温度によらず一定とする。また、1)～3) で用いている「変化量」はその大きさを表すものとし、正の値とする。
1) この状態におけるシリンダー内の体積\( \ V_{1} \ \)を求めたい。\( \ V_{1} \ \)は理想気体の状態方程式から、式\( \ V_{1} \ = \)\( \ \boxed { 1\strut } \ \)より求められ、\( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {A}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {a.bc}\mathstrut \ } \! } \ \) \( [ \mathrm {m^3} ] \ \)となる。
＜\( \ \boxed { 1\strut } \ \)の解答群＞
\[
\begin{eqnarray}
&ア& \dfrac{m \, R \, T_1}{P_1} &イ& \dfrac{m \, P_1 \, T_1}{R} &ウ& \dfrac{R \, T_1}{m \, P_1} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
2) この空気が等圧の下で冷却され、ピストンの移動に伴いシリンダー内の体積\( \ V_{2} \ \)が初めの体積\( \ V_{1} \ \)の\(\dfrac{1}{3}\)となった。
➀このとき、空気が外部からなされた仕事は\( \boxed { \! \boxed {\mathrm {B} \vphantom{10^d}} \! \boxed {\mathrm {a.bc} \times 10^d} \! } \) \( [ \mathrm {kJ} ] \ \)である。
➁この状態における空気の温度 \( T_{2} \) は \( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {C}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {abc}\mathstrut \ } \! } \ \) \( [ \mathrm {K} ] \ \) である。
➂空気の定容比熱\( \ c_{v} \ \)は、空気のガス定数と比熱比を用いて式\( \ c_{v} \ = \) \( \ \boxed { 2\strut } \ \) から求められ、その値は\( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {D}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {a.bc}\mathstrut \ } \! } \ \) \(\times10^{-1}\)\( \mathrm {[kJ / ( kg \cdot K ) ]} \ \) となる。
➃一方、定圧比熱\( \ c_{p} \ \)の値は\( \ c_{v} \ \)との関係から\( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {E}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {a.bc}\mathstrut \ } \! } \ \) \( \mathrm {[kJ / ( kg \cdot K ) ]} \ \)となる。
➄この過程における内部エネルギーの変化\(\Delta U\)は式\(\Delta U =\)\( \ \boxed { 3\strut } \ \)で表すことができ、\( \ T_{2} \ \)を用いてその変化量は\( \boxed { \! \boxed {\mathrm {F} \vphantom{10^d}} \! \boxed {\mathrm {a.bc} \times 10^d} \! } \) \( [ \mathrm {kJ} ] \ \)と算出される。
➅この過程における空気のエンタルピーの変化量は、\( \ c_{p} \ \)を用いて\( \boxed { \! \boxed {\mathrm {G} \vphantom{10^d}} \! \boxed {\mathrm {a.bc} \times 10^d} \! } \) \( [ \mathrm {kJ} ] \ \)と算出される。
➆この過程における空気のエントロピーの変化\(\Delta S =\)は式\(\Delta S =\)\( \ \boxed { 4\strut } \ \)で表すことができ、その変化量は \( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {H}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {ab.c}\mathstrut \ } \! } \ \)\( \mathrm {[kJ / \ K ]} \ \)と算出される。
⓼この過程において、空気が失った熱量は\( \ \boxed { 5\strut } \ \)と等しくなる。
＜\( \ \boxed { 2\strut } \ \)～\( \ \boxed { 5\strut } \ \)の解答群＞
\[
\begin{array}{ll @{\hspace{1.5em}} ll @{\hspace{1.5em}} ll @{\hspace{1.5em}} ll @{\hspace{1.5em}} ll}
\text{ア} & \displaystyle \frac{1}{\kappa-1}R &
\text{イ} & \displaystyle \frac{\kappa}{\kappa+1}R &
\text{ウ} & \displaystyle \frac{\kappa}{\kappa-1}R &
\text{エ} & \displaystyle \frac{\kappa-1}{\kappa}R &
\text{オ} & \displaystyle m c_v \int dT \\
\text{カ} & \displaystyle m c_p \int dT &
\text{キ} & \displaystyle m R \int dT &
\text{ク} & \displaystyle m c_v \int \frac{dT}{T} &
\text{ケ} & \displaystyle m c_p \int \frac{dT}{T} &
\text{コ} & \displaystyle m R \int \frac{dT}{T} \\
\\
\text{サ} & \rlap{\text{エンタルピーの変化量}} & & & & & \text{シ} & \rlap{\text{エントロピーの変化量}} & & \\
\text{ス} & \rlap{\text{内部エネルギーの変化量}} & & & & & \text{セ} & \rlap{\text{外部になした仕事}} & &
\end{array}
\]
3) 次に、前述の2)の状態、すなわち空気を等圧の下で冷却し体積が最初の\(\dfrac{1}{3}\)になった状態でピストンを固定し、体積一定の下で、温度\( \ T_{3} \ \)が最初の温度\( \ T_{1} \ \)である\( 900 [ \mathrm {K} ] \ \)になるまで加熱した。
➀このとき、ピストンを固定した後の加熱過程における空気の内部エネルギーの変化量は、\( \boxed { \! \boxed {\mathrm {I} \vphantom{10^d}} \! \boxed {\mathrm {a.bc} \times 10^d} \! } \)\( [ \mathrm {kJ} ] \ \) と算出される。
➁この過程における空気のエントロピーの変化量は \( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {H}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {a.bc}\mathstrut \ } \! } \ \)\( \mathrm {[ kJ / K ]} \ \)と算出される。
➂また、この過程において加熱した熱量と、この過程における空気の内部エネルギーの変化量との間には、\( \ \boxed { 6\strut } \ \)の関係が成り立つ。
＜\( \ \boxed { 6\strut } \ \)の解答群＞
\(
\begin{array}{ll}
\text{ア} & \text{加熱した熱量} = \text{内部エネルギーの変化量} \\[8pt]
\text{イ} & \text{加熱した熱量} > \text{内部エネルギーの変化量} \\[8pt]
\text{ウ} & \text{加熱した熱量} < \text{内部エネルギーの変化量}
\end{array}
\)
\[
\begin{array}{c}
\text{表 対数の値} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\ln N & 0.693\,1 & 1.099 & 1.386 & 1.609 & 1.792 & 1.946 & 2.079 & 2.197 & 2.303 \\ \hline
\end{array}
\end{array}
\]
【ワンポイント解説】
シリンダーのエネルギー変化に関する計算問題です。熱力学第一法則や気体の状態方程式、自然対数の計算など、熱分野の詰め合わせと言える問題です。また、エネ管の試験は問題文が長いことが多いため、読解力も要求されます。「変化量を正の値とする」など、問題を解く上で大事なポイントにアンダーラインを引くか、問題用紙の余白にメモするなどすることをおすすめします。
1.理想気体の状態方程式
理想気体の状態方程式は、圧力：\( \mathrm {P\,[Pa]} \ \)、体積：\( \mathrm {V\,[m^3]} \ \)、質量：\( \mathrm {m\,[kg]} \ \)、ガス（気体）定数：\( \mathrm {R\,{[J / ( kg \cdot K )] }} \ \)、温度：\( \mathrm {T\,[K]} \ \)の関係を表したものです。
\[
\begin{eqnarray}
P V &=& m R T &=& 一定 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
上式では、圧力・体積・温度のいずれかが変わっても、右辺と左辺は一定であることを表しています。
2.熱力学第一法則
外部に出入りする熱量：\( Q \mathrm{[J]}\)は、内部エネルギーの変化量：\(\Delta U\mathrm{[J]}\)と仕事：\(W \mathrm{[J]}\)の和と等しいです。これをエネルギー保存則と言います。定圧状態と定容状態で関係式は変わります。
\( \underline{定圧状態} \)
定圧（等圧）状態において、外部に出入りする熱量：\( Q \mathrm{[J]}\)とピストン内の内部エネルギー：\(\Delta U\mathrm{[J]}\)と仕事：\(W \mathrm{[J]}\)の関係式は、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta Q &=& \Delta U + W \ [\, \mathrm{J} \,]\\[ 5pt ]
&=& \Delta U + P \Delta V \ [\, \mathrm{J} \,] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
\[
\Large \textbf{図1}
\]
式と図1左より、シリンダーが冷却されることで熱量は外部へ放熱。その分内部エネルギーは減少し、外部から仕事をされることで体積が減少します。
図1右より、シリンダーを加熱することで外部から熱量が入っていくと、内部エネルギーは上昇し、仕事、シリンダー内の体積も増加します。
注）シリンダ内部は減圧・加圧されません。内部の熱が出入りし、体積が収縮・拡大することでピストンは下降・上昇します。
この時のエネルギーの移動の総量をエンタルピー変化量：\( \Delta H [\, \mathrm{J} \,] \)といい、下記式のように外部に出入りする熱量と等しいです。
\[
\begin{eqnarray}
\Delta H &=& \Delta Q \ [\, \mathrm{J} \,] \\[ 5pt ]
&=& \Delta U + P \Delta V \ [\, \mathrm{J} \,] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \underline{定容状態} \)
定容状態では、体積（容積）は一定で、体積の変化量：\(\Delta V\)はゼロです。そのため、仕事：\(W \mathrm{[J]}\)もゼロであり、外部に出入りする熱量：\( Q \mathrm{[J]}\)とピストン内の内部エネルギー：\(\Delta U\mathrm{[J]}\)は等しい関係となります。
\[
\begin{eqnarray}
\Delta Q &=& \Delta U + W \ [\, \mathrm{J} \,]\\[ 5pt ]
&=& \Delta U + P \Delta V \ [\, \mathrm{J} \,] \\[ 5pt ]
&=& \Delta U + P \cdot 0 \ [\, \mathrm{J} \,] \\[ 5pt ]
&=& \Delta U
\end{eqnarray}
\]
\[
\Large \textbf{図2}
\]
なお、定容状態では加えた熱量 \(Q\) がそのままエンタルピー変化 \( \Delta H\)になるという関係\(（Q = \Delta H\)は成り立ちません。
3.比熱比とマイヤーの関係式
定圧比熱：\( \ c_{p} \ \)と定容比熱：\( \ c_{v} \ \)によって、比熱比とマイヤーの関係式を表すことができます。
「基本的に定圧比熱は定容比熱よりも大きい（温度を上げにくい）」という原則を覚えていれば、式を覚えやすいと思います。
\( \underline{ \mathrm{比熱比} : \kappa } \)
定容比熱に対する定圧比熱の比で、下記の式で表します。
\[
\begin{eqnarray}
\kappa &=& \dfrac{\ c_{p}}{\ c_{v}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
原則より、比熱比は\(1 \)を下回ることは有りません。
\( \underline{マイヤーの関係式} \)
定容比熱と定圧比熱とガス（気体）定数の関係を下記の式で表しています。
\[
\begin{eqnarray}
\ c_{p}\, – \ c_{v} &=& R \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
原則より、ガス定数はマイナスになることは有りません。
4.エントロピー:\( \Delta S { [\, \mathrm{J/K} \,] } \)
エントロピーは、ある空間内におけるエネルギーの拡散のしやすさを表します。
\[
\begin{eqnarray}
\Delta S &=& \dfrac{\Delta Q}{T} \ [\, \mathrm{J/K} \,] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
上式の通り、エントロピー変化量は温度：\(T \mathrm{[K]}\)に反比例します。
\[
\Large \textbf{図3}
\]
エンタルピーと名前が似ており、慣れない内は混同しやすいと思います。それぞれの現象を理解することで、見分けやすくなることでしょう。
【解答】
1) 解答
(1) ア (A) \( 2.58 \)
ワンポイント解説1の気体の状態方程式を変形することで、求めることができます。
\[
\begin{eqnarray}
P_{1}V_{1} &=& m R T_{1} \\[ 5pt ]
V_{1} &=& \dfrac{m R T_{1}}{P_{1}}・・・・・・・・・ⅰ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( ⅰ \)式に問題文の値を代入し、求めます。
\[
\begin{eqnarray}
V_{1} &=& \dfrac{10 \times 287 \times 900}{1 \times 10^6} \\[ 5pt ]
&=& 2.583 \, \mathrm {[ m^3 ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって体積：\( \ V_{1} \)は、 \( \ V_{1} \ = \dfrac{m R T_{1}}{P_{1}} \) の式で求めることができ、値は \(2.58\, \mathrm {[ m^3 ]} \) となります。
2) 解答
➀ (B) \( 1.72 \times 10^3 \)
題意より、体積の変化量\( :\,\Delta V \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta V &=& V_{2} – V_{1} \\[ 5pt ]
&=&\dfrac{1}{3} V_{1} – V_{1} \\[ 5pt ]
&=& – \dfrac{2}{3} V_{1} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
題意より、変化量は正の値とする為、\( \Delta V \)は、\( \dfrac{2}{3} V_{1} \)と見なすことができます。
このときの空気が外部からなされた仕事：\( W \)は、
\[
\begin{eqnarray}
W &=& P_{1} \Delta V \\[ 5pt ]
&=& \dfrac{2}{3} P_{1} V_{1} \\[ 5pt ]
&=& \dfrac{2}{3} \times 1 \times 10^6 \times 2.583 \\[ 5pt ]
&=& 1.722 \times 10^6 \mathrm {[ J ]} \\[ 5pt ]
&=& 1.722 \times 10^3 \mathrm {[ kJ ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって、\( 1.72 \times 10^3 \) \( \mathrm {[ kJ ]} \)となります。
➁ (C) \( 300 \)
気体の状態方程式より、体積と温度は比例関係にあることが分かるので、
\[
\begin{eqnarray}
\ T_{1} : \ T_{2} &=& \ V_{1} : \ V_{2} \\[ 5pt ]
\ T_{2} &=& \dfrac{V_{2}}{\ V_{1}} \ T_{1} \\[ 5pt ]
&=& \dfrac{\dfrac{1}{3} V_{1}}{\ V_{1}} \ T_{1} \\[ 5pt ]
&=& \dfrac{1}{3} \ T_{1} \\[ 5pt ]
&=& \dfrac{1}{3} \times 900 \\[ 5pt ]
&=& 300 \, {[ K ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって温度：\( \ T_{2} \)は、\( 300 \) \( {[ K ]} \)となります。
➂ (2) ア (D) \( 7.18 \)
ワンポイント解説3の比熱比\( \kappa \)の式を変形させます。
\[
\begin{eqnarray}
\kappa &=& \dfrac{\ c_{p}}{\ c_{v}} \\[ 5pt ]
\ c_{p} &=& \kappa {\ c_{v}} ・・・・・・・・・ⅱ\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
マイヤーの関係式の\( \ c_{p} \ \)にⅱを代入します。
\[
\begin{eqnarray}
\ c_{p}\, – \ c_{v} &=& R \\[ 5pt ]
\kappa \ c_{v}\, – \ c_{v} &=& R \\[ 5pt ]
(\kappa-1)\ c_{v} &=& R \\[ 5pt ]
\ c_{v} &=& \frac{1}{\kappa-1} R \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
上式に問題文の値を代入し、求めます。
\[
\begin{eqnarray}
\ c_{v} &=& \frac{1}{1.40-1} \times 287 \\[ 5pt ]
&=& 717.5 \mathrm { [ J / ( kg \cdot K ) ] } \ \\[ 5pt ]
&=& 0.717\,5 \mathrm { [ kJ / ( kg \cdot K ) ] } \ \\[ 5pt ]
&=& 7.175 \times 10^{-1 } \mathrm { [ kJ / ( kg \cdot K ) ] } \ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって定容比熱：\( \ c_{v} \ \)は、式\(\dfrac{1}{\kappa-1} R \)で求められ、値は \(7.18\, \) \(\times 10^{-1 } \mathrm { [ kJ / ( kg \cdot K ) ] } \)となります。
➃ (E) \( 1.00 \)
\( ⅱ \)式に問題文と➂で求めた値を代入します。
\[
\begin{eqnarray}
\ c_{p} &=& \kappa {\ c_{v}} \\[ 5pt ]
&=& 1.40 \times 0.717\,5 \\[ 5pt ]
&=& 1.004\,5 \mathrm { [ kJ / ( kg \cdot K ) ] } \ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって定圧比熱：\( \ c_{p} \ \)は、 \(1.00\, \) \( \mathrm { [ kJ / ( kg \cdot K ) ] } \)となります。
マイヤーの関係式に代入して求めることもできますが、単位換算などで時間が掛かる為、おすすめしません。
➄(3) オ (F) \( 4.31 \times 10^3 \)
ワンポイント解説2の熱力学第一法則の式を使って求めます。
外部から加えた熱量：\( Q \)とし、内部エネルギーの変化量：\( \Delta U \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=& Q \, – W \\[ 5pt ]
&=& Q \, – P_{1} \Delta V ・・・・・・・・・ⅲ\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\(T_{1}\)から\(T_{2}\)への温度変化量を\(\Delta T \)とし、等圧における熱量：\( Q \)は、
\[
\begin{eqnarray}
Q &=& m \ c_{p} \Delta T \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
気体の状態方程式より\( P_{1} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
P_{1} &=& \dfrac{m R \Delta T}{\Delta V} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
これらをⅲ式に代入します。
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=& m \ c_{p} \Delta T – \dfrac{m R \Delta T}{\Delta V} \Delta V \\[ 5pt ]
&=& m \ c_{p} \Delta T – m R \Delta T \\[ 5pt ]
&=& m (c_{p} – R) \Delta T ・・・・・・・・・ⅲ’\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
マイヤーの関係式より、
\[
\begin{eqnarray}
c_{p} – R &=& c_{v}\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と変形でき、これを\( ⅲ’ \)に代入します。
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=& m c_{v} \Delta T \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\(\Delta T \)は温度変化量の微分値：\(d \mathrm {T}\)を積分した値なので、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=& m c_v \displaystyle \int dT ・・・・・・・・・ⅲ” \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
\(ⅲ”\)式の不定積分を定積分で表し、各値を代入すると、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=& m c_v \displaystyle \int_{T_1}^{T_2} dT \\[ 5pt ]
&=& m c_v ({T_2} – {T_1} ) \\[ 5pt ]
&=& 10 \times 0.717\,5 \times (300 – 900) \\[ 5pt ]
&=& -4\,305 \, \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ]
&=& -4.305 \times 10^3 \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって内部エネルギーの変化量：\( \Delta U \)は、式\( m c_v \displaystyle \int dT \)で求められ、値は題意より、 \(4.31 \times 10^3 \) \( \mathrm { [ kJ ] } \)となります。
➅(G) \( 6.03 \times 10^3 \)
ワンポイント解説2の通り、エンタルピーの変化量：\(\Delta H\)は外部と行き来する熱量：\(\Delta Q\)と同じとみなすことができます。
熱力学第一法則の式より、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta H &=& \Delta Q \\[ 5pt ]
&=& \Delta U + P \Delta V \\[ 5pt ]
&=& m \ c_{v} \Delta T + m R \Delta T \\[ 5pt ]
&=& m (c_{v} + R) \Delta T・・・・・・・・・ⅳ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
マイヤーの関係式より、
\[
\begin{eqnarray}
c_{v} + R &=& c_{p}\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と変形でき、これを\( ⅳ \)式に代入します。
\[
\begin{eqnarray}
\Delta H &=& m c_{p} \Delta T \\[ 5pt ]
&=& m c_{p} ({T_2} \, – {T_1} )・・・・・・・・・ⅳ’ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\(ⅳ’\)式に各値を代入し、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta H &=& 10 \times 1.004\,5 \times (300 – 900) \\[ 5pt ]
&=& -6\,027 \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ]
&=& -6.027 \times 10^3 \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
題意より、 \(6.03 \times 10^3 \) \( \mathrm { [ kJ ] } \)となります。
➆(4)ケ (H) \( 11.0 \)
ワンポイント解説4と➄➅より、等圧状態におけるエントロピーの変化量：\(\Delta S\)は、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta S &=& \dfrac{\Delta H}{T} \\[ 5pt ]
&=& \dfrac{m c_{p} \Delta T}{T} \\[ 5pt ]
&=& m c_p \displaystyle \int \dfrac{dT}{T} ・・・・・・・・・ⅴ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\(ⅴ\)式を題意の過程のに基づき、求めていきます。
\[
\begin{eqnarray}
\Delta S &=& m c_p \displaystyle \int_{T_1}^{T_2} \dfrac{dT}{T} \\[ 5pt ]
&=& m c_p \ln ({T_2} \, – {T_1} ) \\[ 5pt ]
&=& m c_p \ln \dfrac{T_2}{T_1} \\[ 5pt ]
&=& – m c_p \ln \dfrac{T_1}{T_2} \\[ 5pt ]
&=& – 10 \times 1.004\,5 \times \ln \dfrac{900}{300} \\[ 5pt ]
&=& – 10 \times 1.004\,5 \times \ln 3 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
表 対数の値より、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta S &=& – 10 \times 1.004\,5 \times 1.099 \\[ 5pt ]
&=& -11.039 [\, \mathrm{J/K} \,] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よってエントロピーの変化量：\(\Delta S\)は、式\( m c_p \displaystyle \int \dfrac{dT}{T} \)で求められ、値は題意より \(11.0 \) \( \mathrm { [ kJ/K ] } \)となります。
⓼(5)サ
ワンポイント解説2の通り、エンタルピーの変化量と等しくなります。
3) 解答
➀ (I) \( 4.31 \times 10^3 \)
題意より、定容状態であることが分かる為、この時の内部エネルギーの変化量：\( \Delta U \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=& \Delta Q \\[ 5pt ]
&=& m c_v \displaystyle \int_{T_2}^{T_3} dT \\[ 5pt ]
&=& m c_v ({T_3} – {T_2} ) \\[ 5pt ]
&=& 10 \times 0.717\,5 \times (900 – 300) \\[ 5pt ]
&=& 4\,305 \, \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ]
&=& 4.305 \times 10^3 \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって内部エネルギーの変化量：\( \Delta U \)の値は、 \(4.31 \times 10^3 \) \( \mathrm { [ kJ ] } \)となります。
➁(J) \( 7.89 \)
定容状態におけるエントロピーの変化量：\(\Delta S\)は、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta S &=& m c_v \displaystyle \int_{T_2}^{T_3} \dfrac{dT}{T} \\[ 5pt ]
&=& m c_v \ln ({T_3} \, – {T_2} ) \\[ 5pt ]
&=& m c_v \ln \dfrac{T_3}{T_2} \\[ 5pt ]
&=& 10 \times 0.717\,5 \times \ln \dfrac{900}{300} \\[ 5pt ]
&=& 10 \times 0.717\,5 \times \ln 3 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
表 対数の値より、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta S &=& 10 \times 0.717\,5 \times 1.099 \\[ 5pt ]
&=& 7.885\,3 [\, \mathrm{J/K} \,] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よってエントロピーの変化量：\(\Delta S\)の値は、 \(7.89 \) \( \mathrm { [ kJ/K ] } \)となります。
➂(6)ア
3)➀の関係式、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=& \Delta Q \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
より、加熱した熱量=内部エネルギーの変化量であることが分かります。
