【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
\[
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\]
次の各文章の\( \ \boxed { 7\strut } \ \)～\( \ \boxed { 12\strut } \ \)の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。
(2) 図\( 1 \)に示すように、線間電圧が\( 400 \mathrm{V} \)の対称三相交流電源に、回路\( 1 \)（負荷）と、スイッチ\( \mathrm{S} \)を介して回路\( 2 \)（コンデンサ）が接続されている。ここで、回路\( 1 \)はインピーダンス\( \dot{Z}_{1} = 4 + \mathrm{j} 3 \mathrm{[\Omega]} \)を\( \mathrm{Y} \)接続した平衡三相負荷である。また、回路\( 2 \)は、交流電源から見た力率を\( 1 \)に改善するためにインピーダンス\( \dot{Z}_{2} \mathrm{[\Omega]} \)のコンデンサを\( \Delta \)接続した平衡三相回路である。
図\( 1 \)の回路において、スイッチ\( \mathrm{S} \)を開閉したときの有効・無効電力などの値を求める過程を考える。ただし、図示されたもの以外のインピーダンスは無視するものとする。
\[
\Large \textbf{図1}
\]
1) スイッチ\( \mathrm{S} \)が開いているときに、交流電源から回路\( 1 \)に供給する有効及び無効電力を求める。
i) 対称三相交流電源の電圧は線間電圧で与えられているので、回路\( 1 \)のインピーダンスを\( \mathrm{Y-\Delta} \)変換すると、 \( \Delta \)結線\( 1 \)相当たりのインピーダンス\( \dot{Z}_{\Delta} \)は次の値となる。
\[
\begin{eqnarray}
\dot{Z_{\Delta}} = \ \boxed { 7\strut } \mathrm{[\Omega]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
線間電圧を\( \dot{V}_{\Delta} = 400 \mathrm{[V]} \)とすると、この\( \Delta \)結線\( 1 \)相に流れる電流\( \dot{I}_{\Delta 1} \)は次の値となる。
\[
\begin{eqnarray}
\dot{I_{\Delta 1}} = \ \boxed { 8\strut } \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
<\( \ \boxed { 7\strut } \)及び \( \ \boxed { 8\strut } \)の解答群 >
\[
\begin{array}{l}
\rlap{\text{ア} \quad \dfrac{4}{3} + \mathrm{j}}\hspace{175px}\rlap{\text{イ} \quad 4 + \mathrm{j} 3}\hspace{175px}\rlap{\text{ウ} \quad 12 + \mathrm{j9}}\hspace{175px}\rlap{\text{エ} \quad 20 – \mathrm{j15}}\hspace{175px} \\[5pt]
\rlap{\text{オ} \quad \dfrac{64}{3} – \mathrm{j} 16}\hspace{175px}\rlap{\text{カ} \quad 192 – \mathrm{j} 144}\hspace{175px}\hspace{175px}\hspace{175px}
\end{array}
\]
ii) \( \Delta \)結線\( 1 \)相の力率\( cos\mathrm{\theta}_{\Delta1} \)、及び交流電源から供給される
結線\( 1 \)相の有効電力\( P_{\Delta 1} \)と無効電力\( Q_{\Delta 1} \)（遅れ）は次の値となる。
\[
\begin{eqnarray}
\cos \mathrm{\mathrm{\theta}}_{\mathrm{\Delta 1}} &=&\ \boxed { 9\strut } \\[5pt]
P_{\Delta 1} &=& \ \boxed { 10\strut }\mathrm{[W]} \\[5pt]
Q_{\Delta 1} &=& 6\,400\mathrm{[var]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
<\( \ \boxed { 9\strut } \)及び\( \ \boxed { 10\strut } \)の解答群 >
\[
\begin{array}{l}
\rlap{\text{ア} \quad \text{0.6}}\hspace{117px}\rlap{\text{イ} \quad \text{0.8}}\hspace{117px}\rlap{\text{ウ} \quad \text{1}}\hspace{117px}\rlap{\text{エ} \quad \dfrac{20\,480}{3}}\hspace{117px}\rlap{\text{オ} \quad \text{8 000}}\hspace{117px}\rlap{\text{カ} \quad \dfrac{25\,600}{3}}\hspace{117px}
\end{array}
\]
2) スイッチ\( \mathrm{S} \)が閉じているときの回路\( 2 \)の回路定数を求める。
前述の結果から、回路\( 2 \)によって交流電源の力率を\( 1 \)に改善する\( \Delta \)接続\( 1 \)相当たりの無効電力は\( 6\,400 \mathrm{var} \)（進み）となる。したがって、回路\( 2 \)の\( \Delta \)接続\( 1 \)相に流す電流の実効値\( I_{\Delta 2} \)は次の値となる。
\[
\begin{eqnarray}
I_{\Delta 2} &=& \ \boxed { 11\strut } \mathrm{[A]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
この電流を流すコンデンサのキャパシタンス\( \mathrm{C} \)は次の値となる。ただし、交流電源の角周波数\( \omega \)は \( \omega = 100 \pi \mathrm{[rad/s]} \)とする。
\[
\begin{eqnarray}
C &=& \ \boxed { 12\strut } \mathrm{[\mu F]}
\end{eqnarray}
\]
<\( \ \boxed { 11\strut } \)及び\( \ \boxed { 12\strut } \)の解答群 >
\[
\begin{array}{l}
\rlap{\text{ア} \quad \text{15}}\hspace{140px}\rlap{\text{イ} \quad \text{16}}\hspace{140px}\rlap{\text{ウ} \quad \text{144}}\hspace{140px}\rlap{\text{エ} \quad \dfrac{0.4}{\pi}}\hspace{140px}\rlap{\text{オ} \quad \dfrac{3.6}{\pi}}\hspace{140px} \\[5pt]
\rlap{\text{カ} \quad \dfrac{400}{\pi}}\hspace{140px}\rlap{\text{キ} \quad \dfrac{3\,600}{\pi}}\hspace{140px}\hspace{140px}\hspace{140px}\hspace{140px}
\end{array}
\]
【ワンポイント解説】
三相交流回路に関する計算問題です。特にひねりもなく、三相交流回路に関する基本さえ押さえていれば、十分に解ける問題となっています。ただ、最終的な答えを電卓を使用せず、分数で出すものもあります。地道に約分していくことが正功法になりますが、解答群から電卓を使用して逆算し、答えを洗い出す手もあります。
1.インビーダンス
直流回路には電流の流れにくさを表す抵抗：\( R \) があり、交流回路はそれに加えてリアクタンス：\( X \) が存在します。リアクタンスはコイルのインダクタンスによる誘導性リアクタンス：\( X_{L} \)、コンデンサによるキャパシタンス(静電容量)による容量性リアクタンス：\( X_{C} \) があります。抵抗と各リアクタンスを合成したものを、インピーダンス：\( \dot{Z} \) と呼びます。
各リアクタンスの値は、以下の式で導出されます。
角周波数；\( \omega \) \( \mathrm{[rad/s]} \) 周波数：\( f \) \( \mathrm{[Hz]} \) インダクタンス：\( L \) \( \mathrm{[H]} \) キャパシタンス：\( C \) \( \mathrm{[F]} \)
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{j}X_{L} &=& \mathrm{j} \omega L\\[5pt]
&=& \mathrm{j} 2 \pi f L\mathrm{[\Omega]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
-\mathrm{J} X_{c} &=& \dfrac{1}{\mathrm{j} \omega C} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{\mathrm{j} 2 \pi f C} \\[5pt]
&=& -\mathrm{j} \dfrac{1}{2 \pi f C}\mathrm{[\Omega]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
これらの式の通り、誘導性リアクタンスは正方向の虚数成分、容量性リアクタンスは負方向の虚性成分が基本となります。ベクトル図で表すと図\( 2 \)のようになります。
\[
\Large \textbf{図2}
\]
2.インビーダンスの\( \mathrm{Y-\Delta} \)変換と\( \mathrm{\Delta-Y} \)変換
三相交流回路は、\( \mathrm{Y} \)結線と\( \Delta \)結線があり、各結線のインピーダンスは下記のように変換します。
\[
\Large \textbf{図3}
\]
\( \underline{\mathrm{➀ \mathrm{Y-\Delta} 変換 }} \)
図\( 3 \)より、
\[
\begin{eqnarray}
\dot{Z}_{\Delta a b} &=& \dfrac{\dot{Z}_{Ya} \dot{Z}_{Yb} + \dot{Z}_{Yb} \dot{Z}_{Yc} + \dot{Z}_{Yc} \dot{Z}_{Ya}}{\dot{Z}_{Yc}} \mathrm{[\Omega]} \\[5pt]
\dot{Z}_{\Delta b c} &=& \dfrac{\dot{Z}_{Ya} \dot{Z}_{Yb} + \dot{Z}_{Yb} \dot{Z}_{Yc} + \dot{Z}_{Yc} \dot{Z}_{Ya}}{\dot{Z}_{Ya}} \mathrm{[\Omega]}\\[5pt]
\dot{Z}_{\Delta c a} &=& \dfrac{\dot{Z}_{Ya} \dot{Z}_{Yb} + \dot{Z}_{Yb} \dot{Z}_{Yc} + \dot{Z}_{Yc} \dot{Z}_{Ya}}{\dot{Z}_{Yb}} \mathrm{[\Omega]}\\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
となります。
\( \underline{\mathrm{➁ \mathrm{\Delta-Y} 変換 }} \)
図\( 3 \)より、
\[
\begin{eqnarray}
\dot{Z}_{Ya} &=& \dfrac{\dot{Z}_{\Delta a b} \dot{Z}_{\Delta c a}}{\dot{Z}_{\Delta a b} + \dot{Z}_{\Delta b c} + \dot{Z}_{\Delta c a}} \mathrm{[\Omega]} \\[5pt]
\dot{Z}_{Yb} &=& \dfrac{\dot{Z}_{\Delta b c} \dot{Z}_{\Delta a b}}{\dot{Z}_{\Delta a b} + \dot{Z}_{\Delta b c} + \dot{Z}_{\Delta c a}} \mathrm{[\Omega]} \\[5pt]
\dot{Z}_{Yc} &=& \dfrac{\dot{Z}_{\Delta c a} \dot{Z}_{\Delta b c}}{\dot{Z}_{\Delta a b} + \dot{Z}_{\Delta b c} + \dot{Z}_{\Delta c a}} \mathrm{[\Omega]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
となります。
対称三相回路の各インピーダンスは下記式の関係となります。
\[
\begin{eqnarray}
\dot{Z}_{\Delta a b} &=& \dot{Z}_{\Delta b c} &=& \dot{Z}_{\Delta c a} &=& 3 \dot{Z}_{Ya} &=& 3 \dot{Z}_{Yb} &=& 3 \dot{Z}_{Yc} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
エネ管では過去に、非対称三相回路の問題も出題されています。各変換式も覚えておきましょう。
3.インピーダンスと各電力
\[
\Large \textbf{図4}
\]
図\( 4 \)のように、皮相電力：\( S \mathrm{[V \cdot A]} \)、有効電力：\( P \mathrm{[W]} \)、無効電力：\( Q \mathrm{[var]} \)も図\( 2 \)と同様のベクトル図で表すことができます。
電流：\( I \mathrm{[A]} \) インピーダンス：\( Z\mathrm{[\Omega]} \) 抵抗：\( R\mathrm{[\Omega]} \) リアクタンス：\( X\mathrm{[\Omega]} \) とし、各式のように比例関係になるためです。
\[
\begin{eqnarray}
S &=& Z I^{2} \mathrm{[V \cdot A]} \\[5pt]
P &=& R I^{2} \mathrm{[W]} \\[5pt]
Q &=& X I^{2} \mathrm{[var]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
1) 解答
(7) ウ
対称三相回路なので、ワンポイント解説\( 1 \)のように、\( \dot{\mathrm{Z}}_{1} \)を\( 3 \)倍して\( \mathrm{Y-\Delta} \)変換します。
\[
\begin{eqnarray}
\dot{Z}_{\Delta} &=& 3 \dot{Z}_{1} \\[5pt]
&=& 3(4 + \mathrm{j} 3) \\[5pt]
&=& 12 + \mathrm{j} 9 \mathrm{[\Omega]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
よって、\( \Delta \)結線\( 1 \)相当たりのインピーダンス\( \dot{Z}_{\Delta} \)は、\( 12 + \mathrm{j} 9 \mathrm{[\Omega]} \)となります。
(8)オ
\( \Delta \)結線に変換した一相あたりの回路図は、図\( 5 \)のようになります。
\[
\Large \textbf{図5}
\]
図\( 5 \)をもとに、電流\( \dot{I}_{\Delta 1} \)を求めます。
\[
\begin{eqnarray}
\dot{I}_{\Delta 1} &=& \dfrac{\dot{V}_{\Delta}}{\dot{Z}_{\Delta}} \\[5pt]
&=& \dfrac{400}{12 + \mathrm{j} 9} \\[5pt]
&=&\dfrac{400 (12 – \mathrm{j} 9)} {(12 + \mathrm{j} 9 ) (12 – \mathrm{j} 9)} \\[5pt]
&=&\dfrac{4\,800 – \mathrm{j} 3\,600}{144 + 81} \\[5pt]
&=& \dfrac{4\,800 – \mathrm{j} 3\,600}{225} \\[5pt]
&=& \dfrac{64}{3} – \mathrm{j} 16 \mathrm{[A]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
よって、\( \Delta \)結線\( 1 \)相に流れる電流\( \dot{I}_{\Delta 1} \)は、\( \dfrac{64}{3} – \mathrm{j} 16 \) \( \mathrm{[A]} \)となります。
(9)イ
インピーダンス\( \dot{Z}_{\Delta} \)の大きさ\( | \dot{Z}_{\Delta} | \)は、
\[
\begin{eqnarray}
| \dot{Z}_{\Delta} | &=& \sqrt{R_{\Delta}^2 + X_{\Delta}^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{12^2 + 9^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{144 + 81} \\[5pt]
&=& 15\mathrm{[\Omega]}
\end{eqnarray}
\]
となります。
\( \Delta \)結線\( 1 \)相の力率\( \mathrm{cos\mathrm{\theta}_{\Delta1}} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{cos\mathrm{\theta}_{\Delta1}} &=& \dfrac{R_{\Delta}}{| \dot{Z}_{\Delta} |} \\[5pt]
&=& \dfrac{12}{15} \\[5pt]
&=& 0.8 \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
よって、 \( \Delta \)結線\( 1 \)相の力率\( \mathrm{cos\mathrm{\theta}_{\Delta1}} \)は、0.8となります。
《補足》
\( \mathrm{Y} \)結線時のインピーダンス：\( \dot{Z}_{1} \)の値からも、同じように計算して求めることができます。
\[
\begin{eqnarray}
| \dot{Z}_{1} | &=& \sqrt{4^2 + 3^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{16 + 9} \\[5pt]
&=& 5\mathrm{[\Omega]}
\end{eqnarray}
\]
\( \mathrm{Y} \)結線\( 1 \)相の力率\( \mathrm{cos\mathrm{\theta}_{1}} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{cos\mathrm{\theta}_{1}} &=& \dfrac{4}{5} \\[5pt]
&=& 0.8 \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
このことから、\( \mathrm{Y-\Delta} \)変換しても力率は変わらないことが分かります。
(10)カ
力率\( \mathrm{\cos \mathrm{\mathrm{\mathrm{\theta}_{\Delta1}}}} \)に対し、\( \mathrm{\sin \mathrm{\mathrm{\mathrm{\theta}_{\Delta1}}}} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{\sin \mathrm{\mathrm{\mathrm{\theta}_{\Delta1}}}} &=& \sqrt{1 – \mathrm{cos ^ 2 \mathrm{\theta}_{\Delta1}}} \\[5pt]
&=&\sqrt{1 – 0.8^2} \\[5pt]
&=& 0.6 \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
となります。
\( \mathrm{\tan \mathrm{\mathrm{\mathrm{\theta}_{\Delta1}}}} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{\tan \mathrm{\mathrm{\mathrm{\theta}_{\Delta1}}}} &=& \dfrac{\mathrm{\sin \mathrm{\mathrm{\mathrm{\theta}_{\Delta1}}}}}{\mathrm{cos\mathrm{\theta}_{\Delta1}}} \\[5pt]
&=& \dfrac{0.6}{0.8} \\[5pt]
&=& 0.75 \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
となります。
有効電力\( P_{\Delta 1} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
P_{\Delta 1} &=& \dfrac{Q_{\Delta 1}}{\tan \mathrm{\mathrm{\mathrm{\mathrm{\theta}_{\Delta1}}}}} \\[5pt]
&=& \dfrac{6\,400}{0.75} \\[5pt]
&=& \dfrac{640\,000}{75} \\[5pt]
&=& \dfrac{25\,600}{3} \mathrm{[W]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
よって有効電力\( P_{\Delta 1} \)は、\( \dfrac{25\,600}{3} \)\( \mathrm{[W]} \)となります。
2) 解答
(11)イ
回路\( 2 \)のコンデンサを接続することで、進み電流が流れます。
図\( 1 \)より、回路\( 2 \)は\( \Delta \)結線、1)の段階で回路\( 1 \)を\( \Delta \)に変換しているため、一相当たりの回路図は図\( 6 \)のようになります。
\[
\Large \textbf{図6}
\]
題意より、力率を\( 1 \)に改善するには\( \dot{I}_{\Delta 1} \)の無効電流と同じ、進み電流を流す必要があります。
力率が\( 1 \)の時は、無効電流が\( 0 \)の状態です。\( \dot{I}_{\Delta 1} \)の無効電流成分と同じ大きさの進み電流を流すことで、力率は\( 1 \)に改善されるため、回路\( 2 \)の\( \Delta \)接続\( 1 \)相に流す電流の実効値\( I_{\Delta 2} \)は\( 16 \)\( \mathrm{[A]} \)となります。
今回は\( \Delta \)結線同士の電流値を解く問題でしたが、\( \mathrm{Y} \)結線の場合の電流も解けるようにしてください。
(12)カ
回路\( 2 \)一相当たりのリアクタンス：\( X_{\Delta c} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
X_{\Delta c} &=& \dfrac{V_{\Delta}}{I_{\Delta 2}} \\[5pt]
&=& \dfrac{400}{16} \\[5pt]
&=& 25 \mathrm{[A]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
となります。
キャパシタンス：\( C \)は、\( X_{\Delta c} = \dfrac{1}{\omega C} \)の式と題意より、
\[
\begin{eqnarray}
C &=& \dfrac{1}{\omega X_{\Delta c}} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{100 \times 25} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2500 \pi} \\[5pt]
&=& \dfrac{0.000\,4}{\pi}\mathrm{[F]} \\[5pt]
&=& \dfrac{400}{\pi}\mathrm{[\mu F]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
よって、\( \dfrac{400}{\pi} \)\( \mathrm{[\mu F]} \) となります。
