《必須》〈課目Ⅰ〉[問題3](4)(5)エネルギー管理技術の基礎 熱の流れに関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）
\[
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\] 　\( \ \boxed {　　 6\strut 　　} \ \)～\( \ \boxed {　　 7\strut 　　} \ \)の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。

(4)　炉壁内面温度が \( 880 \, \mathrm{^\circ C} \) である加熱炉の炉壁外面温度を \( 80 \, \mathrm{^\circ C} \) 以下としたい。熱伝導率が温度によらず \( 0.2 \, \mathrm{W/(m \cdot K)} \) で一定な炉壁材を使用することとし、炉壁の通過熱流束を \( 640 \, \mathrm{W/m^2} \) とすると、炉壁外面温度が \( 80 \, \mathrm{^\circ C} \) となる炉壁材の厚さは、\( \ \boxed {　　 6\strut 　　} \ \)\( \times 10^2 \, \mathrm{[mm]} \) となり、これ以上の厚さにする必要がある。

＜\( \ \boxed {　　 6\strut 　　} \ \)の解答群＞
\[
\begin{eqnarray}
&ア&　1.6　　　　　　 　　&イ&　2.0　 　　　　　 　　&ウ&　2.5　　　　　　 　　&エ&　3.2　\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

(5)　\( 50 \, \mathrm{^\circ C} \) の温水と \( 20 \, \mathrm{^\circ C} \) の空気が、 \( 1 \, \mathrm{m^2} \) の面積の平板を隔てて熱交換している。この平板を介した熱交換による通過熱量が \( 400 \, \mathrm{W} \) であった。このときの熱抵抗は、\( \ \boxed {　　 7\strut 　　} \ \)\( \times 10^{-2} \, \mathrm{[K/W]} \) である。

＜\( \ \boxed {　　 7\strut 　　} \ \)の解答群＞
\[
\begin{eqnarray}
&ア&　5.5　　　　　　 　　&イ&　7.5　 　　　　　 　　&ウ&　8.5　　　　　　 　　&エ&　9.5　\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

熱の流れに関する問題です。いずれの問題も、熱分野・電気分野の基礎になる内容になっています。電気専門の方も、電気回路に置き換えると、解きやすくなる問題と思います。

1.熱回路と電気回路の比較
熱と電気の流れの考え方は、とても似ています。
熱と電気の比較を、下記の表にまとめ、回路図として表しています。

2.熱抵抗
熱の伝わりにくさを表しており、電気の流れにくさを表す電気抵抗と同じ考え方です。

熱回路の解除のオームの法則より、熱抵抗 \( : \mathrm{R_t} \) は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{R_t} &=& \dfrac{\Delta T}{\phi} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] になります。

また、熱伝導率\( : \mathrm{λ} \) と物体の厚さ\( : \mathrm{ℓ} \) 、表面積\( : \mathrm{A} \) より､
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{R_t} &=& \mathrm{ \dfrac{1}{λ} \cdot \dfrac{ℓ}{A}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] でも表すことができます。

【解答】

(6)解答：ウ
炉壁内面温度 \( :\mathrm{T_1} \) 、炉壁外面温度 \( :\mathrm{T_2} \)とし、温度差 \( ：\Delta T \) は、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta T &=& 880 \ – 80 \\[ 5pt ] &=& 800 \, \mathrm{[^\circ C]} \\[ 5pt ] &=& 800 \, \mathrm{[K]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] になります。
この後の単位換算がしやすいように、温度差の単位を \( \mathrm{[^\circ C]} \) から \( \mathrm{[K]} \) に変えておきます。

炉壁の通過熱流速 \( :\mathrm{ q } \) は \( 1 \mathrm{ m ^ 2 } \) あたりの熱流 \( : \mathrm{\phi} \)になるので、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{\phi}&=& \mathrm{q} \cdot A \\[ 5pt ] &=& 640 \times 1 \\[ 5pt ] &=& 640 [W] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

炉壁を熱抵抗として見なし、ワンポイント解説2のように熱抵抗 \( : \mathrm{R_t} \) を求めます。
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{R_t} &=& \dfrac{\Delta T}{\phi} \\[ 5pt ] &=& \dfrac{800}{640} \\[ 5pt ] &=& 1.25 \mathrm{ [ K / W ] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{R_t} &=& \mathrm{ \dfrac{1}{λ} \cdot \dfrac{ℓ}{A}}より、炉壁材の厚さ ：ℓ は \\[ 5pt ] l &=& \mathrm{R_t} \cdot λ \cdot A \\[ 5pt ] &=& 1.25 \times 0.2 \times 1 \\[ 5pt ] &=& 0.25 \mathrm{ [m] } \\[ 5pt ] &=& 250 \mathrm{ [mm] } \\[ 5pt ] &=& 2.5 \times 10 ^2 \mathrm{ [mm] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

よって、\(2.5 \times 10 ^2 \mathrm{ [mm] }\)となります。

(7)解答：イ
温水の温度 \( :\mathrm{T_1} \) 、空気の温度 \( :\mathrm{T_2} \)とし、温度差 \( ：\Delta T \) は、
\[
\begin{eqnarray}
\Delta T &=& 50 \ – 20 \\[ 5pt ] &=& 30 \, \mathrm{[^\circ C]} \\[ 5pt ] &=& 30 \, \mathrm{[K]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] になります。
(4)と同じく、温度差の単位を \( \mathrm{[^\circ C]} \) から \( \mathrm{[K]} \) に変えておきます。

ワンポイント解説2のように、熱通過量 \( : \mathrm{\phi} \) とし、熱抵抗 \( : \mathrm{R_t} \) を求めます。
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{R_t} &=& \dfrac{\Delta T}{\phi} \\[ 5pt ] &=& \dfrac{30}{400} \\[ 5pt ] &=& 0.075 \mathrm{ [ K / W ] } \\[ 5pt ] &=& 7.5 \times 10 ^{-2} \mathrm{ [ K / W ] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

よって、\(7.5 \times 10 ^{-2} \mathrm{ [ K / W ] }\)となります。