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【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
\[
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\]
\( \ \boxed { 14\strut } \ \)～\( \ \boxed { 15\strut } \ \)の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。
(11) 三相誘導電動機が線間電圧\( \mathrm{ 400 \, V } \)で運転されている。線電流は、最初の\( \mathrm {20}\)分間は\( \mathrm{ 20 \, A } \)、次の\( \mathrm {40}\)分間は\( \mathrm{ 30 \, A } \)であり、力率はいずれも\( \mathrm{ 85 \, \% } \)であった。電動機がこの\( \mathrm {60}\)分間で使用した電力量は\( \ \boxed { 14\strut } \ \, \mathrm {[kW \cdot h]} \)である。ただし、\( \sqrt{3}\,=1.73 \, \)とする。
＜\( \ \boxed { 14\strut } \ \)の解答群＞
\[
\begin{eqnarray}
&ア& 16 &イ& 24 &ウ& 34 &エ& 43\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
(12) ある工場では、\( \mathrm {9}\)時から\( \mathrm {9}\)時\( \mathrm {30}\)分までの\( \mathrm {30}\)分間の需要電力の抑制のために、その間の平均電力を\( \mathrm{ 2\,000 \, kW } \)以下に抑えることにしている。ここで、\( \mathrm {9}\)時から\( \mathrm {9}\)時\( \mathrm {20}\)分までの使用電力量が\( \mathrm{ 700 \, kW \cdot h } \)であるとすると、\( \mathrm {9}\)時\( \mathrm {20}\)分から\( \mathrm {9}\)時\( \mathrm {30}\)分までの残り\( \mathrm {10}\)分間の平均電力を\( \ \boxed { 15\strut } \ \, \mathrm {[kW]} \)以下とする必要がある。
＜\( \ \boxed { 15\strut } \ \)の解答群＞
\[
\begin{eqnarray}
&ア& 1\,300 &イ& 1\,800 &ウ& 2\,000 &エ& 4\,300\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
三相誘導電動機の使用電力量を求める問題です。\( \mathrm {2}\)問とも一度に解答を出そうとすると、計算ミスしやすい印象です。各時間帯の電力⇒使用電力量⇒各時間帯の電力量を合計するなど、段階的に計算した方がミスを減らせると思います。
1.交流回路の電力
交流回路の電力には、皮相電力、有効電力、無効電力の\( \mathrm {3}\)種類があります。
\( \mathrm{皮相電力} \, S \ [\, \mathrm{V \cdot A} ] ： \)電源から供給される見かけ上の電力で、設備容量などを表すのに用いられています。
\( \mathrm{有効電力} \, P \ [\, \mathrm{W} ] ： \)負荷で消費される電力です。
\( \mathrm{無効電力} \, Q \ [\, \mathrm{var} ] ： \)電圧と電流の位相差により発生し、\( \mathrm{力率角} \, θ \, \)が\( \mathrm {90}\)度に近づくほど大きくなります。この電力は負荷で消費されないため、無効電力と言われています。
電圧\( : \mathrm{V} \) 、電流 \( : \mathrm{I} \) とし、各電力を式で表すと、以下の通りになります。
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{S} \, &=& V \, I \,[\, \mathrm{V \cdot A} ]\\[ 5pt ]
\mathrm{P} \, &=& V \, I \, \mathrm{cos\,θ} \, [\, \mathrm{W} ]\\[ 5pt ]
\mathrm{Q} \, &=& V \, I \, \mathrm{sin\,θ} \, [\, \mathrm{var} ]\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
2.三相交流回路の電圧
図\( \mathrm {2}\)のY結線三相対称電源より、相順a→b→cとした時の線間電圧 \( : \dot{\mathrm{V}}_{ab} \, \dot{\mathrm{V}}_{bc} \, \dot{\mathrm{V}}_{ca} \, \)と相電圧 \( : \dot{\mathrm{E}}_{a} \, \dot{\mathrm{E}}_{b} \, \dot{\mathrm{E}}_{c} \) のベクトル図を図\( \mathrm {3}\)で表します。
三相対称電源である為、線間電圧の大きさ\( : \mathrm{V} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{V} &=& \mathrm{V}_{ab} &=& \mathrm{V}_{bc} &=& \mathrm{V}_{ca}
\end{eqnarray}
\]
相電圧の大きさ\( : \mathrm{E} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{E} &=& \mathrm{E}_{a} &=& \mathrm{E}_{b} &=& \mathrm{E}_{c}
\end{eqnarray}
\]
とそれぞれ同じ値となります。
図\( \mathrm {3}\)より、線間電圧と相電圧の大きさの関係は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{V} &=& \sqrt{3} \, \mathrm{E}
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.三相交流回路の電力計算
三相交流回路の電力\( : \mathrm{P}_{3} \)の求め方は、線間電圧と相電圧で少し異なります。
線間電圧の時は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}_{3} &=& \sqrt{3} \, V \, I \, \mathrm{cos\,θ} \, ・・・・・・・・・➀ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
相電圧の時は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}_{3} &=& 3 \, E \, I \, \mathrm{cos\,θ} \, ・・・・・・・・・➁ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
今回の問題のように、線間電圧や特に指定がない場合は➀式、相電圧や「一相当たり・・・」の指定がある時は➁式で計算すると、求めることができます。
4.電力量計算
電力を消費した時間 \( : \mathrm{T} \)とすると、電力量 \( : \mathrm{W} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{W} &=& P \, T
\end{eqnarray}
\]
となります。
三相交流回路の時も同じで、三相電力\( : \mathrm{P}_{3} \)と時間\( : \mathrm{T} \)を掛けることで求めることができます。
【解答】
(14)解答：ア
ワンポイント解説\( \mathrm {3}\)の線間電圧の式より、最初の\( \mathrm {20}\)分間と次の\( \mathrm {40}\)分間に分けて、各電力量を求めます。
《\( \mathrm {20}\)分間の電力量 \( :\mathrm{W}_{20} \) 》
線間電圧 \( :\mathrm{V} \) 、 この時の線電流 \( :\mathrm{I}_{20} \) 、 力率 \( :\mathrm{cos\,θ} \) とし、電力 \( :\mathrm{P}_{20} \)は、ワンポイント解説\( \mathrm {3}\)の➀式より、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}_{20} &=& \sqrt{3} \, V \, \mathrm{I}_{20} \, \mathrm{cos\,θ} \, \\[ 5pt ]
&=& 1.73 \times 400 \times 20 \times \dfrac{ 85 }{ 100 } \ \\[ 5pt ]
&=& 11,764 [\, \mathrm{W} ] \\[ 5pt ]
&=& 11.764 [\, \mathrm{kW} ] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
この時の時間 \( :\mathrm{T}_{20} \)とし、電力量 \( :\mathrm{W}_{20} \)は、ワンポイント解説\( \mathrm {4}\)の式より、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{W}_{20} &=& \mathrm{P}_{20} \, \mathrm{T}_{20} \\[ 5pt ]
&=& 11.764 \times \dfrac{ 20 }{ 60 } \ \\[ 5pt ]
&≒& 3.921\,3 \mathrm{ [\, kW \cdot h ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
《\( \mathrm {40}\)分間の電力量 \( :\mathrm{W}_{40} \) 》
この時の線電流 \( :\mathrm{I}_{40} \) 、 力率 \( :\mathrm{cos\,θ} \) とし、電力 \( :\mathrm{P}_{40} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}_{40} &=& \sqrt{3} \, V \, \mathrm{I}_{40} \, \mathrm{cos\,θ} \, \\[ 5pt ]
&=& 1.73 \times 400 \times 30 \times \dfrac{ 85 }{ 100 } \ \\[ 5pt ]
&=& 17\,646 [\, \mathrm{W} ] \\[ 5pt ]
&=& 17.646 [\, \mathrm{kW} ] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
この時の時間 \( :\mathrm{T}_{40} \)とし、電力量 \( :\mathrm{W}_{40} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{W}_{40} &=& \mathrm{P}_{40} \, \mathrm{T}_{40} \\[ 5pt ]
&=& 17.646 \times \dfrac{ 40 }{ 60 } \ \\[ 5pt ]
&≒& 11.764 \mathrm{ [\, kW \cdot h ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
\( \mathrm {60}\)分間で使用した電力量は\( :\mathrm{W} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{W} &=& \mathrm{W}_{20} \, + \mathrm{W}_{40} \\[ 5pt ]
&=& 3.921\,3 + 11.764 \\[ 5pt ]
&=& 15.685 \mathrm{ [\, kW \cdot h ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって、解答は、\( \mathrm{ 16 [\, kW \cdot h ] } \) となります。
(15)解答：イ
全\( \mathrm {30}\)分間の平均電力 \( :\mathrm{P}_{30} \) 、時間 \( :\mathrm{T} \)とし、電力量\( :\mathrm{W} \) は、ワンポイント解説4の式より、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{W} &=& P \, T \\[ 5pt ]
&=& 2\,000 \times \dfrac{ 30 }{ 60 } \ \\[ 5pt ]
&=& 1\,000 \mathrm{ [\, kW \cdot h ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
\( \mathrm {20}\)分間の平均電力量\( :\mathrm{W}_{20} \) とし、\( \mathrm {10}\)分間の平均電力量\( :\mathrm{W}_{10} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{W}_{10} &=& \mathrm{W} \, – \mathrm{W}_{20} \\[ 5pt ]
&=& 1\,000 \, – 700 \\[ 5pt ]
&=& 300 \mathrm{ [\, kW \cdot h ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \mathrm {10}\)分間の平均電力\( :\mathrm{P}_{10} \)は、時間 \( :\mathrm{T}_{10} \)とすると、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}_{10} &=& \dfrac{ \mathrm{W}_{10} }{ \mathrm{T}_{10} } \ \\[ 5pt ]
&=& \dfrac{ \mathrm{300} }{ \dfrac {10}{60} } \ \\[ 5pt ]
&=& 1\,800 \mathrm{ [\, kW ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって、解答は、\( 1\,800 \mathrm{ [\, kW ] } \) となります。
