《必須》〈課目Ⅰ〉[問題3](2)エネルギー管理技術の基礎マイヤーの関係式に関する知識問題

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【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）
\[
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\] 　\( \ \boxed {　　 4\strut 　　} \ \)の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。

(2) 気体の比熱として、定圧比熱と定容比熱が定義されている。理想気体では、定圧比熱と定容比熱の差は\( \ \boxed {　　 4\strut 　　} \ \)となり、気体の種類によって決まる一定の値をとる。

＜\( \ \boxed {　　 4\strut 　　} \ \)の解答群＞
\[
\begin{eqnarray}
&ア&　アボガドロ数　　　　　　　　　&イ&　ガス定数　　　　　　　　　&ウ&　比熱比　　&&　\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

マイヤーの関係式に関する問題です。熱分野の基礎となる内容で、熱分野を選択された方にとっては必須知識で、外せない問題と言えます。
電気分野を選択された方にとって、問題の内容を理解するのに苦労する問題だと思います。マイヤーの関係式の公式（下記➀式）だけ暗記して、他の学習に時間を割く選択も有りかと思います。

1.定圧比熱と定容比熱
ある物質の温度を\( 1 \, \mathrm{^\circ C} \, (\mathrm{K}) \)上げる上で、
・定圧比熱\(\mathrm{：\, c _p}\)⇒圧力を変化させない状態での比熱
・定容比熱\(\mathrm{：\, c _v}\)⇒体積を変化させない状態での比熱

を言います。
\(\mathrm{\, c _p}\)と\(\mathrm{\, c _v}\)は、 \( \mathrm{c_p} \gt \mathrm{c_v} \)の関係にあり、差が生じます。その差をガス（気体）定数：\( \mathrm {R}\)と言います。
式で表すと、
\[
\mathrm{c_p – c_v = R}・・・・・・・・・➀
\] となります。
➀式を \( \underline{\mathrm{マイヤーの関係式}} \)と呼びます。

2.熱力学第一法則との関係
なぜ \( \mathrm{c_p} \gt \mathrm{c_v} \)関係になるのか、熱力学第一法則
\[
Q = \Delta U + W ・・・・・・・・・➁
\] と照らし合わせて深掘りしていきます。

仕事 \(： W \)は、圧力\(： P \)　体積の変化量 \( ：\Delta V \)とすると、
\[
W = P \Delta V ・・・・・・・・・➂
\] となります。
定容比熱は体積が変化しない、つまり\( \Delta V =0\)であることから➂より、
\[
\begin{eqnarray}
W &=& P \Delta V \\[ 5pt ] &=& 0・・・・・・・・・➂’ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
定容状態の熱量を\(\mathrm{\, Q _v}\)として、\( ➂’\)と共に\( ➁\)式に当てはめると、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{\, Q _v} &=&\Delta U + W \\[ 5pt ] \mathrm{\, Q _v} &=&\Delta U・・・・・・・・・➁’ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が成立し、定容状態の熱量\(\mathrm{\, Q _v}\)は内部エネルギーの変化 \( ：\Delta U \)のみ影響することがわかります。

一方、定圧状態では圧力が変化しないのみで、内部エネルギーの変化と仕事は発生します。
ですので、定圧状態の熱量\(\mathrm{\, Q _p}\)は
\[
\mathrm{Q_p} = \Delta U + W ・・・・・・・・・ \text{➁”}
\] となります。
\( ➁ ‘\)と比べて、仕事 \(： W \)のエネルギーも加算されるため、
\[
\mathrm{Q_p} \gt \mathrm{Q_v}
\] となります。

更に、比熱と熱量は比例関係にあります。
以上のことから、
\[
\mathrm{c_p} \gt \mathrm{c_v}
\] の関係が成立し､マイヤーの関係式も成り立つ理由です。