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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
\[
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\]
次の各文章の\( \ \boxed { 5\strut } \ \)～\( \ \boxed { 8\strut } \ \)の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。
(2) 十分に大きなタンクがあり、内部に水が入っている。タンク最下部にある流出口からタンク内の水面までの鉛直方向の高さは\( \mathrm {4.6m}\)で一定に保たれており、タンク上部は大気に開放されている。
ここで、水の密度\( \rho \)を\( \mathrm {997 kg/m^3}\)、粘性係数\( \mu \)を\( \mathrm {8.54×10^{⁻4} Pa\cdot{s}}\)、重力加速度を\( \mathrm {9.81 m/s^2}\)とする。
1) 損失のない理想的な場合には、この最下部の流出口から直接大気中に流出する水の平均流速\( \mathrm {U_{1}}\)は\( \ \boxed { 5\strut } \ \)\( \mathrm {[m/s]}\)となる。
2) 次に、この流出口に管内直径\( \mathrm {D}\)が\( \mathrm {43mm}\)、長さ\( \mathrm {L}\)が\( \mathrm {100m}\)の直円管を水平につないだ場合を考える。
ⅰ) 円管において、圧力損失として管内の摩擦抵抗による損失のみが生じるとすると、円管出口から流出する水の平均流速\( \mathrm {U_{2}}\) は、\( \ \boxed { 6\strut } \ \)\( \mathrm {[m/s]}\)となる。ここで管摩擦係数は円管内で \( \mathrm {0.019}\)一定とする。
＜\( \ \boxed { 5\strut } \ \)及び\( \ \boxed { 6\strut } \ \)の解答群＞
\[
\begin{eqnarray}
&ア& 1.4 &イ& 1.7 &ウ& 1.9 &エ& 8.3 &オ& 9.1 &カ& 9.5 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ⅱ) この円管内の流れのレイノルズ数\( Re \)は、式\( Re = \)\( \ \boxed { 7\strut } \ \)と定義されるので、その値を計算すると\( \ \boxed { 8\strut } \ \)であり、この円管内の流れは乱流域にあることがわかる。
＜\( \ \boxed { 7\strut } \ \)及び\( \ \boxed { 8\strut } \ \)の解答群＞
\[
\begin{eqnarray}
&ア& 7.1 \times 10^4 &イ& 7.6 \times 10^4 &ウ& 8.1 \times 10^4 \\[ 5pt ]
&エ& \dfrac{U_{2}D}{\left[ \dfrac{\mu}{\rho} \right]} &オ& \dfrac{U_{2}D}{\left[ \dfrac{\rho}{\mu} \right]} &カ& \dfrac{U_{2}L}{\left[ \dfrac{\mu}{\rho} \right]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
タンク内の水を放出する際の計算問題です。ベルヌーイの定理やダルシー・ワイスバッハの式、レイノルズ数など、あらゆる計算知識が要求されますが、これらの関係性を結びつけると対応しやすくなることでしょう。ベルヌーイの定理の解説は前問\( \mathrm {（1）}\)で解説していますので、忘れた方はそちらを確認するようにしてください。
1.圧力損失
圧力損失：\( P_{l} \)は、摩擦抵抗などによる圧力の減少代です。
\[
\Large \textbf{図1}
\]
図\( 1 \)の記号より圧力損失は、
\[
\begin{eqnarray}
P_{l} &=& P_{1} \, – P_{2} ・・・・・・・・・➀ \\[5pt]
&=& \lambda \cdot \dfrac{L}{D} \cdot \dfrac{\rho \, U^2}{2} ・・・・・・・・・➁ \ \mathrm{[Pa]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
となります。
➁式はダルシー・ワイスバッハの式で、圧力損失は、配管長さ・運動エネルギーに比例して大きくなり、管内径に反比例して小さくなることが分かります。
2.レイノルズ数
レイノルズ数：\( Re \)は流体の乱れやすさを表す指標で、流体の慣性力と粘性の比で表されます。
\[
\Large \textbf{図2}
\]
図\( 2 \)の記号よりレイノルズ数は、
\[
\begin{eqnarray}
Re &=& \dfrac{\text {慣性力}}{\text {粘性}} \\[ 5pt ]
&=& \dfrac{\rho \, U D}{\mu} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
式よりレイノルズ数は、流体の密度・流速・配管径が大きいほど、流体は勢いよく流れるので増加します。逆に、流体の粘度が高いほど、流体の勢いが抑えられるので低下します。
なお、摩擦係数：\( \lambda \)とレイノルズ数の関係は、
\[
\begin{eqnarray}
\lambda &=& \dfrac{64}{Re} \\[ 5pt ]
Re &=& \dfrac{64}{\lambda} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があり、摩擦（配管壁の凹凸）が多いほど流れが乱れやすいことを意味しています。この関係式も過去に出題されていますので、一緒に覚えておくといいです。
【解答】
1) 解答
(5) カ
ベルヌーイの式 \( \rho gH + \dfrac{1}{2}\rho \mathrm {U_{1} }^2 + \mathrm {P} \)を使い、求めていきます。
\[
\Large \textbf{図3}
\]
図\( 3 \)より、タンク水面の流速は\( 0 \)、高さ：\( \mathrm {H}\)、大気圧：\( \mathrm {P}\)なので、
\[
\begin{eqnarray}
\rho gH + \mathrm {P} ・・・・・・・・・➂ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
タンク最下部は高さは\( 0 \)、流速：\( \mathrm {U_{1} }\)、大気圧：\( \mathrm {P}\)となるので、
\[
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \rho \mathrm {U_{1} }^2 + \mathrm {P} ・・・・・・・・・➃ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ベルヌーイの定理より、\( ➂＝➃ \)の関係になるので、
\[
\begin{eqnarray}
\rho gH + \mathrm {P} &=& \frac{1}{2} \rho \mathrm {U_{1} }^2 + \mathrm {P} \\[ 5pt ]
\frac{1}{2} \rho \mathrm {U_{1} }^2 &=& \rho gH \\[ 5pt ]
\mathrm {U_{1} }^2 &=& 2 gH \\[ 5pt ]
\mathrm {U_{1} } &=& \sqrt{2 gH} \\[ 5pt ]
&=& \sqrt{2 \times 9.81 \times 4.6 } \\[ 5pt ]
&=& 9.500\,1 \mathrm { [ m/s ] }\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって、水の平均流速\( \mathrm {U_{1} } \)は、9.5\( \mathrm { [ m/s ] } \)となる。
2) 解答
(6) ア
\[
\Large \textbf{図4}
\]
ワンポイント解説\(1\)のダルシー・ワイスバッハの式より、圧力損失：\( P_{l} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
P_{l} &=& \lambda \cdot \dfrac{L}{D} \cdot \dfrac{\rho \, \mathrm {U_{2} }^2}{2} \ \mathrm{[Pa]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
となります。
直円管出口の状態をベルヌーイの式で表すと、
\[
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \rho \mathrm {U_{2} }^2 + \mathrm {P_{l}} + \mathrm {P} ・・・・・・・・・➄ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
ベルヌーイの定理より、\( ➂＝➄ \)の関係になるので、
\[
\begin{eqnarray}
\rho gH + \mathrm {P} &=& \frac{1}{2} \rho \mathrm {U_{2} }^2 + \mathrm {P_{l}} + \mathrm {P} \\[ 5pt ]
\rho gH &=& \frac{1}{2} \rho \mathrm {U_{2} }^2 + \mathrm {P_{l}} \\[ 5pt ]
\rho gH &=& \frac{1}{2} \rho \mathrm {U_{2} }^2 + \lambda \cdot \dfrac{L}{D} \cdot \dfrac{\rho \, \mathrm {U_{2} }^2}{2} \\[ 5pt ]
gH &=& \frac{1}{2} \mathrm {U_{2} }^2 + \lambda \cdot \dfrac{L}{D} \cdot \dfrac{\mathrm {U_{2} }^2}{2} \\[ 5pt ]
gH &=& \dfrac{1}{2} \left( 1 + \lambda \cdot \dfrac{L}{D} \right) \mathrm {U_{2} }^2 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と整理し、平均流速：\( \mathrm {U_{2} } \)を求めます。
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {U_{2} }^2 &=& \dfrac{2gH}{1 + \lambda \cdot \dfrac{L}{D}} \\[ 5pt ]
\mathrm {U_{2} } &=& \sqrt{\dfrac{2gH}{1 + \lambda \cdot \dfrac{L}{D}}} \\[ 5pt ]
&=& \sqrt{\dfrac{ 2 \times 9.81 \times 4.6 }{ 1 + 0.019 \times \dfrac{100}{43 \times 10^{-3}} }} \\[ 5pt ]
&=& 1.413\,3 \mathrm { [ m/s ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって、平均流速：\( \mathrm {U_{2} } \)は1.41 \(\mathrm { [ m/s ] }\)となります。
(7) エ
レイノルズ数：\( Re \)はワンポイント解説\(2\)の式より、
\[
\begin{eqnarray}
Re &=& \dfrac{\rho \, \mathrm {U_{2} } D}{\mu} \\[ 5pt ]
&=& \dfrac{U_{2}D}{\left[ \dfrac{\mu}{\rho} \right]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と変形できます。
(8) ア
\( (7) \)で求めた式に、各値を代入して求めます。
\[
\begin{eqnarray}
Re &=& \dfrac{1.413\,3 \times 43 \times 10^{-3} }{\left[ \dfrac{8.54 \times 10^{-4}}{997} \right]} \\[ 5pt ]
&=& 70\,948 \\[ 5pt ]
&=& 7.094\,8 \times 10^4 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって、レイノルズ数の値は、\( 7.1 \times 10^4 \) となります。
