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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
\[
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\]
次の各文章の\( \ \boxed { 7\strut } \)～ \(\boxed { 10\strut } \ \)の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。
(1) 図\( 1 \)のように、厚さが\( t \) \( \mathrm {[m]}\)、熱伝導率が\( k \)\( \mathrm {[W/(m \cdot K)]}\)の無限に広い平板があり、垂直上方から一様な熱放射による熱流束\( q \) \( \mathrm {[W/m^2]}\)を受けている。平板の上側表面温度は\( \mathrm {T_{1}\,[K]}\)、下側表面温度は\( \mathrm {T_{2}\,[K]}\)で、\( \mathrm {T_{1}}\) \( \gt \) \( \mathrm {T_{2}}\)であり、平板内部の温度分布は時間的に変化せず、定常状態であるとする。また、ステファン・ボルスマン定数を\( \sigma \) \( \mathrm {[W/(m^2 \cdot K^4)]}\)とし、板の上側表面は波長域全体にわたって吸収率（＝放射率）が\( \alpha \)で一定の面とし、平板と上方空間との間の対流伝熱は無視できるものとする。
1) 平板上方から平板に向かう熱流束\( q \)のうち、平板表面で反射する熱流束は、\( q \)を用いて表すと\( \ \boxed { 7\strut } \) \( \mathrm {[W/m^2]}\)となる。
2) 平板の上側表面から上方に向かう熱放射による熱流束は、\( \mathrm {T_{1}}\)を用いて表すと、\( \ \boxed { 8\strut } \) \( \mathrm {[W/m^2]}\)となる。
＜\( \ \boxed { 7\strut } \ \)及び\( \ \boxed { 8\strut } \ \)の解答群＞
\[
\begin{eqnarray}
&ア& q &イ& \alpha q &ウ& (1-\alpha) q &エ& \sigma \mathrm {T_{1}}^4 &オ& \alpha \sigma \mathrm {T_{1}}^4 &カ& (1-\alpha) \sigma \mathrm {T_{1}}^4 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
3) 平板の上側表面から下方に向かう熱伝導による熱流束は、\( \mathrm {T_{1}}\)及び\( \mathrm {T_{2}}\)を用いて表すと、\( \ \boxed { 9\strut } \) \( \mathrm {[W/m^2]}\)となる。
4) 平板上方から平板に向かう熱流速\( q \) の、平板の上側表面における熱バランスから、\( \alpha q= \)\( \ \boxed { 10\strut } \)の等式が成り立つ。
＜\( \ \boxed { 9\strut } \ \)及び\( \ \boxed { 10\strut } \ \)の解答群＞
\[
\begin{eqnarray}
&ア& k(\mathrm {T_{1}-T_{2}}) &イ& kt(\mathrm {T_{1}-T_{2}}) &ウ& \frac{k}{t} (\mathrm {T_{1}-T_{2}}) \\[ 5pt ]
&エ& \alpha \sigma \mathrm {T_{1}}^4 + k(\mathrm {T_{1}-T_{2}}) &オ& \alpha \sigma \mathrm {T_{1}}^4 + kt(\mathrm {T_{1}-T_{2}}) &カ& \alpha \sigma \mathrm {T_{1}}^4 + \frac{k}{t}(\mathrm {T_{1}-T_{2}}) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
熱伝導及び熱放射に関する計算問題です。熱伝導率やステファン・ボルツマン定数などの前提条件が多く、問題の本文だけ読むと戸惑うかと思います。落ち着いて一問一問分解し、解いていくようにしていきましょう。また、前問（1）の知識問題と組み合わせて演習することで、理解が深まることでしょう。
1.熱流束のエネルギー保存則
熱流束も、エネルギー保存則の概念で考えることができます。
\[
\Large \textbf{図1}
\]
図\( 1 \)より、
\[
{\Large
\begin{aligned}
\boxed{ \boldsymbol{\text{外部から物体への熱流束} = \text{物体外部への熱反射} + \text{物体表面からの熱放射} + \text{物体内の熱伝導}} }
\end{aligned}
}
\]
の関係となります。
2.各種伝熱の各公式
各種伝熱に関する公式を、下記にまとめてます。
詳細は前問（1）の記事で紹介しております。
\( \underline{\mathrm{熱伝導}} \)
熱伝導はフーリエの式で表されます。
熱流束：\( q \, \mathrm{[W/m^2]}\) 熱伝導率：\( k \, \mathrm{[W/(m\cdot K)]} \) 高温部の温度：\( \mathrm T_{H} \, \mathrm{[K]}\) 低温部の温度：\( \mathrm T_{L} \, \mathrm{[K]} \) 熱が移動する距離：\( \Delta t \, \mathrm{[m]} \) 温度差：\( \Delta \mathrm T \, \mathrm{[K]} \)
\[
\begin{eqnarray}
q &=& -k \dfrac{\mathrm T_{L} – \mathrm T_{H}}{\Delta t} \mathrm{[W/m^2]} \\[5pt]
&=& k \dfrac{\Delta \mathrm T}{\Delta t} \mathrm{[W/m^2]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
\( \underline{\mathrm{熱放射}} \)
熱放射はステファン・ボルツマンの式で表されます。
ステファン・ボルツマン定数：\( \sigma \mathrm{[W/(m^2 \cdot K^4)]} \) 放射率：\( \alpha \) 絶対温度：\( \mathrm T \, \mathrm{[K]} \)
《黒体》理想とする物体
\[
\begin{eqnarray}
q &=& \sigma \mathrm T^4 \mathrm{[W/m^2]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
《灰色体》一般の物体
\[
\begin{eqnarray}
q &=& \sigma \alpha \mathrm T^4 \mathrm{[W/m^2]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
\( \underline{\mathrm{熱対流}} \)
熱対流は、ニュートンの冷却法則で表されます。
熱伝達率：\( h \, \mathrm{[W/(m^2\cdot K)]} \)
\[
\begin{eqnarray}
q &=& h \Delta \mathrm T \mathrm{[W/m^2]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
1) 解答
(7) ウ
上方から受けた熱流束：\( q \) のうち、吸収した熱流束は、\( \alpha q \, \mathrm{[W/m^2]} \)となります。
一方、反射する熱流束は吸収した熱以外となる為、\( (1-\alpha) q \, \mathrm{[W/m^2]} \)となります。
2) 解答
(8) オ
ワンポイント解説\( 2 \)より、ステファン・ボルツマンの式を使用します。
熱放射による熱流束：\( q_{1} \)とし、題意より吸収率と放射率は同じである為、
\[
\begin{eqnarray}
q_{1} &=& \sigma \alpha \mathrm T_{1}^4 \mathrm{[W/m^2]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
となります。
過去問にて、「放射による熱は、絶対温度の4乗に比例する」であることをよく問われます。
最低限、これだけでも覚えておくようにしてください。
3) 解答
(9) ウ
ワンポイント解説\( 2 \)より、フーリエの式を使用します。
熱伝導による熱流束：\( q_{2} \)とし、
\[
\begin{eqnarray}
q_{2} &=& -k \dfrac{\mathrm T_{2} – \mathrm T_{1}}{t} \\[5pt]
&=& k \dfrac{\mathrm T_{1} – \mathrm T_{2}}{t} \\[5pt]
&=& \dfrac {k}{t} \mathrm( T_{1} – \mathrm T_{2} )\mathrm{[W/m^2]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
となります。
4) 解答
(10) カ
ワンポイント解説\( 1 \)のエネルギー保存則の概念式に、各値を当てはめます。
\[
\begin{eqnarray}
\text{外部からの熱流束} &=& \text{熱反射} + \text{熱放射} + \text{熱伝導} \\[5pt]
q &=& (1-\alpha) q + \sigma \alpha \mathrm T_{1}^4 + \dfrac {k}{t} \mathrm( T_{1} – \mathrm T_{2} ) \\[5pt]
q &=& q \, – \alpha q + \sigma \alpha \mathrm T_{1}^4 + \dfrac {k}{t} \mathrm( T_{1} – \mathrm T_{2} ) \\[5pt]
\alpha q &=& \sigma \alpha \mathrm T_{1}^4 \dfrac {k}{t} \mathrm( T_{1} – \mathrm T_{2} ) \mathrm{[W/m^2]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
となります。
この式より、吸収した熱流束は、「熱伝導」と「熱放射」の和であることが分かります。
