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【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
\[
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\]
次の各文章の\( \ \boxed { 11\strut } \)の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。
また、\( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {A}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {ab}\mathstrut \ } \! } \ \)～\( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {C}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {a.b}\mathstrut \ } \! } \ \)に当てはまる数値を計算し、その結果を答えよ。ただし、解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入すること。
(3) 流体\( \mathrm {A}\)と流体\( \mathrm {B}\)が熱交換をする、管の断面が一定な二重管式の向流型熱交換器がある。流体\( \mathrm {A}\)、\( \mathrm {B}\)共に相変化することなく熱を伝えており、熱交換器内の温度を模式的に示すと図\( 1 \)のようになっている。各流体の比熱及び流量は表\( 1 \)のとおりであり、熱交換器の各流体の入口温度及び出口温度は表\( 2 \)のように与えられている。ただし、熱損失はないものとする。
\[
\Large \textbf{図1}
\]
$$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} \text{表1} \\[10pt] \begin{array}{|c|c|c|} \hline \rule[-12pt]{0pt}{32pt} & \text{流体 A} & \text{流体 B} \\ \hline \rule[-12pt]{0pt}{32pt} \text{比熱 [kJ/(kg} \cdot \text{K)]} & 4.0 & 2.0 \\ \hline \rule[-12pt]{0pt}{32pt} \text{流量 [kg/s]} & 4.0 & 5.0 \\ \hline \end{array} \end{array} & \qquad & \begin{array}{c} \text{表2} \\[10pt] \begin{array}{|c|c|c|} \hline \rule[-12pt]{0pt}{32pt} & \text{流体 A} & \text{流体 B} \\ \hline \rule[-12pt]{0pt}{32pt} \text{入口温度 [}^\circ\text{C]} & 70 & 30 \\ \hline \rule[-12pt]{0pt}{32pt} \text{出口温度 [}^\circ\text{C]} & 50 & \text{未知} \\ \hline \end{array} \end{array} \end{array}$$
1) 与えられた条件から求められる熱交換量を用いて、流体\( \mathrm {B}\)の出口温度を求めると、\( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {A}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {ab}\mathstrut \ } \! } \ \)\( \, \mathrm{[^\circ C]} \)となる。
2) 図\( 1 \)のとおり、左端の流体\( \mathrm {A}\)の入口と流体\( \mathrm {B}\)の出口の温度差を\(\Delta T_{1}[\mathrm {K}]\)、右端の流体\( \mathrm {A}\)の出口と流体\( \mathrm {B}\)の入口の温度差を\(\Delta T_{2}[\mathrm {K}]\)とする。単位時間当たりの熱交換量\(Q [\mathrm {kW}]\)は、熱通過率\( K \)\( \mathrm {[kW/(m^2 \cdot K)]}\)、両流体の代表的な温度差\(\Delta T_{m}[\mathrm {K}]\)、伝熱面積\( S [\mathrm {m^2}]\)を用いると、次式で表すことができる。なお、\( K \)は熱交換器全域にわたり一定であるとする。
\[
\begin{eqnarray}
Q &=& K S\Delta T_{m} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
このように表した熱交換量を求める式における、代表となる温度差\(\Delta T_{m}\)を対数平均温度差と呼び、\(\Delta T_{1}\)及び\(\Delta T_{2}\)を用いて表すと、式\(\Delta T_{m}=\)\( \ \boxed { 11\strut } \ \) \( \mathrm {[K]} \)となる。
＜\( \ \boxed { 11\strut } \ \)の解答群＞
\begin{eqnarray}
\text{ア} \quad (\Delta T_{2} – \Delta T_{1}) \ln \left( \dfrac{\Delta T_{2}}{\Delta T_{1}} \right)
& \qquad & \text{イ} \quad \dfrac{\Delta T_{2} – \Delta T_{1}}{\ln \left( \dfrac{\Delta T_{2}}{\Delta T_{1}} \right)}
& \qquad & \text{ウ} \quad \dfrac{\Delta T_{2} – \Delta T_{1}}{\ln \left( \dfrac{\Delta T_{2} – \Delta T_{1}}{\Delta T_{1}} \right)}
\end{eqnarray}
3) 向流型の場合のように、\(\Delta T_{1}\)と\(\Delta T_{2}\)の差が比較的小さいときは、両者の算術平均温度差を\(\Delta T_{m}\)として用いても\( Q \)の誤差は小さい。ここでは、1)で用いた交換熱量と算術平均温度差から伝熱面積を求めてみる。
ⅰ) 与えられた条件から算術平均温度差を求めると、\( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {B}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {ab}\mathstrut \ } \! } \ \)\( \mathrm {[K]} \)となる。
ⅱ) 熱交換器の熱通過率が\( \mathrm {3.5kW/(m^2\cdot{K})}\)の時、ⅰ)で求めた算術平均温度差を用いて熱交換器の伝熱面積を求めると、\( \ \boxed { \! \boxed {\mathrm {C}\mathstrut \ } \! \boxed {\mathrm {a.b}\mathstrut \ } \! } \ \)\( \mathrm {[m^2]} \)と算出される。
【ワンポイント解説】
二重管式熱交換器に関する計算問題です。\( \ \boxed { 11\strut } \ \)の解答群に自然対数\(\ln\)が出てきて、戸惑う方もいらっしゃると思います。\( \ \boxed { 11\strut } \ \)が分からなくても、問題3)を解くことができますので、諦めずに最後まで問題文を読み、向き合うようにしていきましょう。
1.交換熱量
熱交換器の各流体管を行き来する熱エネルギーは交換熱量：\( \mathrm {Q[W]}\)で表されます。単位を見て、電力の単位\(\mathrm {[W]}\)と同じであることに困惑する方もいらっしゃると思いますが、
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {[W]} &=& \mathrm {[J/s]}
\end{eqnarray}
\]
の関係を理解していれば、納得できるかと思います。
交換熱量は下記\( 2 \)つの式で表すことができます。
流体の質量流量：\( m \mathrm {[kg/s]}\) 流体の比熱：\( c \mathrm {[kJ/(kg \cdot K)]}\) 熱交換における流体の温度差：\( \Delta T \mathrm {[K]} \) 高温側の流体温度：\( T_{H} \mathrm {[K]} \) 低温側の流体温度：\( T_{L} \mathrm {[K]} \)
\[
\begin{eqnarray}
Q &=& m \, c \, \Delta T ・・・・・・・・・➀\\[ 5pt ]
&=& m \, c \, (T_{H} \, – T_{L})\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
➀式は流体ごとの質量や比熱、同一流体における温度差に比例することを表しています。
熱通過率：\( K\)\( \mathrm {[kW/(m^2 \cdot K)]}\) 伝熱面積：\( S\)\( \mathrm {[m^2]}\) 熱交換する各流体間の平均温度差：\(\Delta T_{m}\)\( \mathrm {[K]}\)
\[
\begin{eqnarray}
Q &=& K S\Delta T_{M} ・・・・・・・・・➁\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
➁式は、各流体間の熱の通りやすさを表す熱通過率、熱交換する箇所の表面積、各流体間の温度差に比例することを表しています。
\[
\Large \textbf{図2}
\]
2つの流体間で熱交換され、流体が与える熱量と、もう一方の流体が受け取る熱量は、等しくなります。
2.対数計算
対数の引き算と分数は、等しい関係となります。
\[
\begin{eqnarray}
\log A – \log B &=& \log \left(A – B \right) \\[ 5pt ]
&=& \log \dfrac{A}{B} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
この関係は、自然対数\(\ln\)でも同じです。
【解答】
1) 解答
(A) 62
ワンポイント解説\( 1 \)をもとに、各流体の交換熱量を算出します。
流体\( A \)の交換熱量：\( Q_{A} \)は、流量：\( m_{A} \) 流体の比熱：\( c_{A} \) 高温側の流体温度：\( T_{AH} \mathrm {[K]} \) 低温側の流体温度：\( T_{AL} \mathrm {[K]} \)とすると、
\[
\begin{eqnarray}
Q_{A} &=& m_{A} \, c_{A} \, (T_{AH} \, – T_{AL}) \\[ 5pt ]
&=& 4.0 \times 4.0 \times (70 – 50) \\[ 5pt ]
&=& 320 \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
流体\( B \)の交換熱量：\( Q_{B} \)は、流体\( B \)の流量：\( m_{B} \) 流体の比熱：\( c_{B} \) 高温側の流体温度：\( T_{BH} \mathrm {[K]} \) 低温側の流体温度：\( T_{BL} \mathrm {[K]} \)とすると、
\[
\begin{eqnarray}
Q_{B} &=& m_{B} \, c_{B} \, (T_{BH} \, – T_{BL}) \\[ 5pt ]
&=& 5.0 \times 2.0 \times (T_{BH} – 30) \\[ 5pt ]
&=& 10T_{BH} – 300 \, \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
各流体間で与える熱量と、受け取る熱量は等しいので、流体\( \mathrm {B}\)の出口温度：\( T_{BH} \mathrm {[\mathrm{^\circ C}]} \)は、
\[
\begin{eqnarray}
Q_{A} &=& Q_{B} \\[ 5pt ]
320 &=& 10T_{BH} – 300 \\[ 5pt ]
10T_{BH} &=& 320 + 300 \\[ 5pt ]
T_{BH} &=& \dfrac{620}{10} \\[ 5pt ]
&=& 62 [\mathrm{^\circ C}] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって、流体\( \mathrm {B}\)の出口温度：\( T_{BH} \)は、62\( \mathrm {[\mathrm{^\circ C}]} \)となります。
2) 解答
(11) イ
対数平均温度差：\(\Delta T_{M}\)は、\( \dfrac{\Delta T_{2} – \Delta T_{1}}{\ln \left( \dfrac{\Delta T_{2}}{\Delta T_{1}} \right)} \)\( \mathrm {[K]} \)で表されます。
図\( 1 \)の通り、各流体の温度差は場所によって異なりなり、より正確に平均の温度差を算出するため、この式が用いられます。
\[
\begin{eqnarray}
\Delta T_{m} &=& \dfrac{\Delta T_{2} – \Delta T_{1}}{\ln (\Delta T_{2} – \Delta T_{1})} \\[5pt]
&=& \dfrac{\Delta T_{2} – \Delta T_{1}}{\ln \left( \dfrac{\Delta T_{2}}{\Delta T_{1}} \right)}
\end{eqnarray}
\]
この式は暗記した方が早く、対数内の温度差が分母になると覚えておくと、頭に入りやすいかなと思います。
3) 解答
(B) 14
この問題は、「各温度差を足して\( 2 \)で割る」と気付くことさえできたら、スムーズに解くことができます。
\[
\begin{eqnarray}
\Delta T_{m} &=& \dfrac{\Delta T_{2} – \Delta T_{1}}{2} \\[5pt]
&=& \dfrac{(T_{AH} – T_{BH}) – (T_{AL} – T_{BL})}{2} \\[5pt]
&=& \dfrac{(70 – 62) + (50 – 30)}{2} \\[5pt]
&=& 14 \mathrm {[K]} \\[5pt]
\end{eqnarray}
\]
よって、算術平均温度差：\(\Delta T_{m}\)は、14\( \mathrm {[K]}\)となります。
4) 解答
(C) 6.5
問題文中の式に各値を代入し、伝熱面積：\( S \)を求めます。
\[
\begin{eqnarray}
Q &=& K S\Delta T_{M} \\[ 5pt ]
S &=& \dfrac{Q}{K \Delta T_{m}} \\[ 5pt ]
&=& \dfrac{320}{3.5 \times 14} \\[ 5pt ]
&=& 6.530\,6 \mathrm {[m^2]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
よって、伝熱面積は、6.5\( \mathrm {[m^2]}\)と算出されます。
今回の問題では式が与えられていますが、式の比例関係は過去問でも出題されたことがあります。ワンポイント解説\( 2 \)の考え方を頭に入れておくようにしておきましょう。
